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matlab-用泰勒级数来计算定点x处的cos（x）值 

function [cosValue,realcos,real_N] = mycos(x,N)
%mycos 通过N阶泰勒级数计算给定点x处的cos（x)。
% x 具体的x值
% N 泰勒级数的阶数 经验证（具体见下面mycosN函数）
% 将cosx x值转入0-2*pi内计算，取N=11 即可。
% cosValue 函数mycos的输出值
% real_N 满足精确度 10^(-4)下，真正需要的泰勒项数，用于检验，
%若出现 real_N>11,则本论述出错。算法错误
k=1:N;
a_k=double((-1).^k.*x.^(2*k)./factorial(2*k));
%泰勒级数每一项/factorial阶乘函数
cosValue=1+sum(a_k);%求和函数
realcos=cos(x);
while(abs(cosValue-realcos)>=0.001)
    N=N+1;
    a_k1=double((-1).^N.*x.^(2*N)./factorial(2*N));
    cosValue=cosValue+a_k1;
end
real_N=N;
end

验证“cosx x值转入0-2*pi内计算，取N=11 即可。”

计算0-2*pi的cosx值，当精确度度要求为10的-4次方
考虑到cosx的周期性，计算时，x可以转换到0-2pi内计算，故改变 X的取样间隔。

泰勒级数展开的截断误差
(-1).^N.x.^(2N)./(2*N)的阶乘 考虑展开式中的每一项，
当N值越大，分母上的x的2n次方幂次讲远远大于分母上的阶乘项.
自然若是取N趋向于无穷，可解出cosx的准确值；但我们计算时候，必定涉及到截断（有限项）
问题：
1.是否是x取值越大，泰勒级数展开项要求越多？
2.到底N到多少停止，才会避免截断误差（可能最后几项使得整体计算偏移量巨大）?

检测有：
1.
X=0:0.0001:2pi; (real_max)Nmax=11
X=0:0.00001:2pi）(real_max)Nmax=11

2.当带入 mycos（x,N)(x=0:0.0001:2pi;N=11时）
计算上述两个x的离散点集合时候， 都成功计算出了满足精确度要求的cos值

3.plot(x,N)(x=0:0.0001:2pi,N=11)
画出图像，图像同cosx的图像（见后附图）

所以，根据以上两点，这个问题，我们将之浓缩在0-2*PI区间内便不需考虑，取N=11时
% 认为满足cos值的计算

plot(x,cosValue,'-x','MarkerIndices',1:1:length(cosValue));
%每隔一点显示一个交叉标记，用实线连接
>> xlabel('x=0:0.001:2*pi');
>> ylabel('cosx 值');
>> print('-dpng','-r100','pic1')
% 输出png照片 -r 设置图像分辨率(dpi) 默认图片大小 8inx6in
  • plot(x,N)(x=0:0.0001:2pi,N=11)
  • x=[0.001,0.003] 局部放大
function [cosValue,realcos,real_NmaxN,real_max] = mycosN(X,N)
%mycos 通过N阶泰勒级数计算给多个定点处的cos（x)。并计算实际满足精确度时，在给定输入定点下（可能这些定点取不到最多展开项），所需要展开的最多项数目
% X 多个定点的数组集合 
% N 泰勒级数的阶数
% cosValue: N项泰勒计算下，定点的cos值（数组）
% realcos:  matlab内置cos函数的cos值（数组）
% real_NmaxN:满足10的-4次方精确度下，对于各点所真实需要的泰勒展开项数
% real_max: real_NmaxN的最大值，即满足10的-4次方精确度下，泰勒展开的一般需要项数


real_Nmax=0;
cosValue=zeros(1,length(X));
realcos=zeros(1,length(X));
real_NmaxN=zeros(1,length(X));
i=0;
for j=X %j将遍历数组X
i=i+1;
k=1:N;
a_k=double((-1).^k.*j.^(2*k)./factorial(2*k));
cosValue(i)=1+sum(a_k);
realcos(i)=cos(j);
cos_compare=cosValue(i);
while(abs(cos_compare-realcos(i))>=0.0001)
    N=N+1;
    a_k1=double((-1).^N.*j.^(2*N)./factorial(2*N));
    cos_compare=cos_compare+a_k1;
end
real_N=N;
if(real_N>real_Nmax)
    real_Nmax=real_N;
end
real_NmaxN(i)=real_Nmax;
end
real_max=max(real_NmaxN);
end

从本质来讲，数学符号是一种通用语言，它能应用到包括matlab在内的任何编程语言。

Programming with MATLAB for Scientists, A Beginner's Introduc